Décroissance des coefficients de Fourier des mesures stationnaires et terme d'erreur exponentiel pour le théorème de renouvellement

Soit mu une mesure de probabilité borélienne sur SL2(R) avec un
moment exponentiel, telle que le support de mu engendre un sous-groupe
Zariski dense dans SL2(R). On peux lui associer une unique mesure de
probabilité sur le cercle, qui s'appelle la mesure mu-stationnaire. Nous
allons démontrer, avec l'ingrédient principal du théorème de
sommet-produit élaboré par Bourgain, que les coefficients de Fourier de
cette mesure tendent vers zéro avec une vitesse polynomiale. Et àpartir
de ce résultat, nous monterons l’existence de trou spectral de
l’opérateur de transfert, dont les propriétés nous permettront
d’établir un terme d’erreur exponentiel pour le théorème de
renouvellement dans le cadre des produits de matrices aléatoires.