Flip-conjugaison et raffinements de l'équivalence orbitale

Étant données deux actions préservant la mesure de probabilité libres ergodiques de groupes moyennables, le théorème d'Ornstein-Weiss stipule qu'elles sont orbitalement équivalentes, c'est à dire que quitte à conjuguer l'une, les partitions de l'espace en orbites sont identiques. On peut alors donner plusieurs raffinements naturels de l'équivalence orbitale en demandant que les cocycles associés soient plus ou moins "sympathiques", ce qui donne lieu à une théorie beaucoup plus riche, mais encore très mystérieuse.

Un théorème d'Austin stipule par exemple que si le cocycle est intégrable et les deux groupes sont moyennables de type fini, les entropies des actions sont égales. Récemment, Kerr et Li ont montré que pour tous les groupes moyennables non localement finis et non virtuellement $\mathbb{Z}$, il suffit en fait de demander que le cocycle soit d'entropie finie. Le cas de $\mathbb{Z}$ reste mystérieux, et ils demandent si de telles actions ne seraient pas toujours flip conjuguées (ce qui est le cas sous la condition plus forte d'intégrabilité d'après un théorème de Belinskaya).

Dans cet exposé, nous répondrons par la négative à cette question en utilisant des groupes pleins $L^p$ d'actions pmp pour $p<1$. Il s'agit d'un travail en commun avec Alessandro Carderi, Thiebout Delabie, Matthieu Joseph et Romain Tessera.