Le nombre de revêtements d'une variété et la croissance des sous-groupes

Si G est un groupe de type fini et n un entier naturel, alors le nombre de sous-groupes de G de indice n est fini. Le problème de la croissance des sous-groupes de G est la question de comment ce nombre de sous-groupes dépend de l'indice n. Une autre question intéressante est comment cette croissance dépend de la géométrie du groupe G. Par exemple, si G est le groupe fondamental d'une variété fermée M (et donc le nombre de sous-groupes de indice n correspond au nombre de revêtements de M de degré n), qu'est-ce qu'on peut voir de la géométrie et la topologie de la variété dans la croissance des sous-groupes ? Finalement, on peut aussi demander combien de ces sous-groupes de indice n sont non-isomorphes.

Dans cet exposé je vais parler d'un travail en commun avec H. Baik et J. Raimbault sur la croissance des sous-groupes des groupes de Coxeter et d'Artin à angles droits et un travail en commun avec S. Friedl, J. Park, J. Raimbault et A. Ray sur le problème de trouver des revêtements non-homéomorphes.