Promenade dans le monde des formes quadratiques en deux variables et à coefficients entiers

[L'exposé aura lieu en ligne]

Pour résoudre les équations diophantiennes du type $q(x,y) = n$, où $n$ est un entier donné et $q$ est une forme quadratique à coefficients entiers, Gauß a longuement étudié les formes quadratiques dans ses Disquisitiones Arithmeticae. Lorsqu'on fixe le discriminant $\Delta$, qu'on impose aux coefficients d'être premiers entre eux, et qu'on considère leurs classes d'équivalence sous l'action de $\operatorname{SL}_2(\mathbb{Z})$, il leur a trouvé une structure de groupe. Groupe qui est en réalité isomorphe au groupe de classes d'idéaux d'une extension quadratique de $\mathbb{Z}$ (celle qui est de même discriminant), comme l'a établi Dirichlet. Le groupe de classes est un objet arithmétique de premier plan mais difficile à contrôler, et nous verrons dans cet exposé comment ce lien permet de déduire des informations à son sujet. D'un autre côté, nous utiliserons la représentation très visuelle de Conway des formes quadratiques à coefficients entiers pour résoudre algorithmiquement l'équation diophantienne $q(x,y) = n$.