À la recherche d'extensions de la signature

Pour tout ensemble $X$ infini on peut définir son groupe de permutation $\mathfrak{S}(X)$. On note alors $\mathfrak{S}_{\mathrm{fin}}(X)$ le sous-groupe des permutations à support fini sur lequel il existe un morphisme signature naturel. Cependant, une observation de Vitali (1915) remarque que ce morphisme ne s'étend pas à $\mathfrak{S}(X)$.\\
Dans cet exposé nous donnerons des sous-groupes de $\mathfrak{S}(X)$ qui contiennent $\mathfrak{S}_{\mathrm{fin}}(X)$ en particulier nous nous intéresserons au groupe des transformations d'échanges d'intervalles avec flip : IET$^{\bowtie}$. Puis nous construirons une extension du morphisme signature sur ces groupes et dans un dernier temps nous regarderons comment ce morphisme nous permet de classifier leurs sous-groupes normaux.