Introduction aux $E_n$-opérades

En topologie, les espaces de lacets jouissent de propriétés fort agréables : leur homologie est par exemple munie d'une structure algébrique particulièrement riche, et ils permettent souvent de simplifier l'étude des groupes d'homotopie. C'est pour obtenir un critère permettant de reconnaître ces espaces que J.P. May a introduit dans les années 70 la notion d'opérade. L'objectif de cet exposé est de vous introduire à cette théorie des opérades, qui permet d'unifier de nombreux types de structures apparaissant en algèbre (les algèbres associatives, $A_\infty$, de Lie, de Poisson, de Gerstenhaber, etc) et d'étudier les relations entre elles (pour n'en citer qu'une : le théorème de Poincaré-Birkhoff-Witt). Je vous présenterais ensuite la plus importante famille d'opérades en topologie, celle des $E_n$-opérades, qui a permis à J.P. May de formuler son théorème de reconnaissance, ainsi que les liens mis en évidence par les travaux récents entre ces objets et de nombreux domaines des mathématiques. Les $E_n$-opérades offrent par exemple une nouvelle interprétation du groupe de Grothendieck-Teichmüller, et un outil important dans l'étude des espaces d'immersions et de plongements.