Une preuve géométrique du théorème de Jung

En géométrie algébrique, une opération essentielle est l'éclatement d'un point d'une variété. Concrètement, on cherche à remplacer un point par "l'ensemble des droites passant par ce point". Une des premières applications est la désingularisation des courbe, car si on éclate un nœud d'une courbe, elle devient alors lisse. Dans mon exposé je vais parler du cas des surfaces projectives. On verra que l'éclatement d'un point représente une classe très générale de transformations entre surfaces que l'on appelle des transformations birationnelles. On verra comment la forme d'intersection sur les diviseurs se comporte après un éclatement et on appliquera tout ça à la preuve donnée par Stéphane Lamy du théorème de Jung qui affirme que le groupe des automorphismes polynomiaux du plan affine est engendré par le sous-groupe des transformations affines et celui des transformations élémentaires, c'est à dire les transformations qui préservent le pinceau des droites horizontales. L'idée sera de voir un automorphisme du plan affine comme une transformation birationnelle de l'espace projectif dans lui-même et d'éclater l'espace projectif de façon judicieuse pour résoudre les points d'indéterminations.

Si vous n'êtes pas trop géométrie algébrique, ne vous inquiétez pas, tout ce que je vais raconter peut se faire dans le cadre holomorphe et je vais allègrement mélanger les deux points de vue quand l'un sera plus pertinent que l'autre. Aussi, si la caractéristique zéro vous ennuie, sachez que ce que je vais raconter est vrai aussi en caractéristique positive !