Des variétés abéliennes rigolotes

Dans cet exposé j'essaierai de présenter une certaine classe de variétés abéliennes complexes et comment est-ce qu'elles peuvent nous aider à obtenir des résultats d'existence de certaines courbes avec des propriétés spéciales.
Je commencerai par parler des variétés abéliennes les plus simples, celles de dimension $1$, les fameuses courbes elliptiques. Je me concentrerai sur celles qui m'intéressent, les courbes elliptiques ayant plus d'endomorphismes que la multiplication par un entier, dites à multiplication complexe. Une propriété étonnante qu'ont ces courbes est de pouvoir être définies sur un corps beaucoup plus petit que $\mathbb{C}$. Dans la seconde partie de mon exposé j'essaierai d'expliquer pourquoi les variétés abéliennes (des courbes elliptiques en plus grosses) sont en fait des réseaux qui s'ignorent et comment la mise en lumière de cette mystérieuse correspondance entre deux mondes apparemment différents peut nous permettre de trouver d'autres courbes, de genre $2$ ou $3$, définissables sur des plus petits corps que $\mathbb{C}$.

Beaucoup des résultats dont je vais parler sont vrais pour n'importe quel corps (pas seulement $\mathbb{C}$). L'avantage de travailler sur $\mathbb{C}$ est qu'on peut expliquer ce que sont des courbes elliptiques, des variétés abéliennes, des polarisations et plein d'autres objets avec des noms à coucher dehors en termes d'algèbre linéaire et de groupes. Il suffira donc, a priori, de savoir ce que sont un espace vectoriel, une application linéaire, un groupe, un quotient, un anneau etc pour comprendre cet exposé.

PS : Outre le caractère très subjectif d'être "rigolo", les variétés abéliennes dont je parlerai ne satisfont pas cette propriété (même subjectivement). C'était pour vous donner envie de lire le résumé et ça m'évite de trouver un titre pertinent.

Toutes mes excuses pour cette petite malhonnêteté et en espérant vous voir nombreux.ses jeudi.