Homologie pour les familles génératrices et escaliers de gradient

En raison de phénomènes de rigidité topologique (au sens du h-principe de Gromov), une question centrale en topologie de contact consiste à appréhender la diversité des sous-variétés legendriennes en les classifiant à isotopies de sous-variétés legendriennes près.
 
Y. V. Tchekanov publie en 1996 un résultat de persistance des familles génératrices au cours des isotopies de sous-variétés legendriennes, ce qui en 2001 a permis à L. Traynor d'adapter des idées provenant de la théorie de Morse pour construire une homologie pour les familles génératrices. Cet invariant a ensuite été exploité en 2013 par J. Sabloff et L. Traynor pour établir partiellement une conjecture de V. I. Arnol'd et continue de contribuer à exhiber de la rigidité legendrienne.
 
Par ailleurs, des travaux de D. Fuchs et D. Rutherford parus en 2011 rapprochent l'homologie pour les familles génératrices des nœuds legendriens de leur homologie de contact legendrienne. Cette correspondance persiste conjecturellement en dimension supérieure, mais les techniques exploitées par D. Fuchs et D. Rutherford en dimension trois ne se généralisent pas aussi aisément. Une stratégie robuste à la dimension consiste plutôt à exploiter une conjecture énoncée en 2013 par M. Henry et D. Rutherford selon laquelle les trajectoires de gradient qui interviennent dans le calcul de la différentielle de l'homologie pour les familles génératrices sont en bijection avec des escaliers de gradient.
 
Cet exposé, richement illustré, débutera par un survol des notions utiles de topologie de contact. Il se poursuivra par la motivation de l'étude des escaliers de gradient et se conclura avec quelques explications détaillées sur le premier pas vers une démonstration de la conjecture des escaliers. Ce résultat a été obtenu sous la direction de F. Bourgeois.