Quelques propriétés des opérateurs d'Ornstein-Uhlenbeck fractionnaires

On s'intéressera aux propriétés régularisantes des opérateurs d'Ornstein-Uhlenbeck fractionnaires agissant sur \(L^2(\mathbb{R}^n)\), i.e. aux opérateurs
\(P = |Q^{1/2}\nabla_x|^{2s} + <Bx,\nabla_x>\)
avec domaines
 \(\{u \in L^2(\mathbb{R}^n) : Pu\in L^2(\mathbb{R}^n)\},\)
où \(Q\) et \(B\) sont deux matrices avec \(Q\) symétrique positive (non nécessairement inversible), \(B\) et \(Q\) vérifiant une condition algébrique appelée condition de Kalman. Plus précisément, après avoir introduit ces opérateurs et rapidement passé en revue leurs propriétés de base (étude du graphe, adjoint ...), on  s'intéressera aux effets régularisants des semigroupes qu'ils engendrent. Des applications à la contrôlabilité à zéro des équations paraboliques associées et à étude des propriétés sous-elliptiques des ces opérateurs seront ensuite données.