Rigorous derivation of the Whitham's equations from the water waves system in the shallow water regime

En océanographie côtière, l’étude qualitative du modèle général pour les vagues surfaciques, appelé problème des vagues, est très compliqué voir impossible avec nos outils mathématiques actuels. C’est pour cela que de nombreux mathématiciens et physiciens ont proposés des modèles simplifiés dans des régimes de comportement physiques spécifiques. Dans cet exposé, nous nous intéresserons à la dérivation des modèles dit de type dispersion complète, dans le régime d’eau peu profonde. Ces modèles ont la particularité d’avoir la même relation de dispersion que celle des équations des vagues. Le premier modèle de ce type a été introduit par Whitham en 1967. Nous allons voir deux méthodes permettant de dériver rigoureusement ces équations du modèle général. La première est basé sur la construction de « quasi » invariants de Riemann pour un système dit de Whitham-Boussinesq. La deuxième utilise une généralisation de l’algorithme de la forme normale de Birkhoff pour des Hamiltoniens dit « presque lisses ».