Méthodes d'analyse asymptotique et d'approximation numérique -- Problèmes d'évolution multi-échelles de type oscillatoire ou dissipatif

Les problèmes à relaxation rapide apparaissent dans de nombreux systèmes physiques ou biologiques, notamment dans le cadre de modèles cinétiques avec collisions. Leur comportement mélange une dynamique de relaxation de temps caractéristique ε et une partie lente d'interactions. Malgré le développement depuis les années 1980 de méthodes de résolution adaptées peu coûteuses, un problème demeure : la précision des méthodes est dégradée lorsque le pas de temps est d'ordre ε. Mon travail de thèse a consisté à développer une méthode pour dépasser cette limite, à l'aide d'un développement asymptotique par rapport au paramètre ε. Cela permet de séparer le modèle asymptotique et son erreur ; on parle alors d'un problème micro-macro. Cette construction fait appel à des outils de moyennisation qui seront présentés, et j'insisterai sur certains aspects géométriques de cette méthode. J'expliquerai ensuite comment construire le problème micro-macro, et comment sa résolution numérique génère une erreur indépendante du paramètre ε.