All-time uniformly accurate numerical schemes for a class of dissipative systems

We consider a class of stiffly diffusive problems mixing slow and fast and slow variations. Using a change of variable, the problem becomes highly-oscillatory, allowing the use of averaging methods which approach the solution by a slow flow composed with a fast map. The inverse change of variable gives an approximation of the solution of the diffusive problem. Considering the residue (i.e. the error of the approximation), it appears that it can be computed numerically with uniform accuracy, meaning the error and the cost are independent of the stiffness, even when using usual schemes. This is illustrated with several examples.

 
 
Schéma numériques uniformément précis en tout temps pour une classe de problèmes diffusifs

On considère une class de problèmes hautement diffusifs qui mélangent des variations lentes et rapides. Un changement de variable permet de trouver un problème équivalent hautement oscillant sur lequel on utilise une méthode de moyennisation qui approche la solution avec une composition entre un flot lent et un morphisme rapide. Le changement de variable inverse fournit une approximation de la solution du problème diffusif. Une étude du résidu montre qu'il peut être calculé numériquement avec une précision uniforme, i.e. avec une erreur et un coût indépendants de la raideur du problème, même en utilisant des schémas usuels. On illustre ces résultats avec des simulations.