De l'absence d'effets quantiques sur le courant électrique à l'échelle microscopique.

Le besoin croissant de composants électroniques plus petits a récemment suscité l'intérêt pour l’étude de la théorie de la conductivité classique à l'échelle atomique où les effets quantiques devraient dominer. En 2012, les mesures expérimentales de la résistance électrique de fils en Silicium (Si) dopés aux atomes de phosphore ont démontré que les effets quantiques sur le transport de charge disparaissent presque pour des fils de longueur supérieure à quelques nanomètres. Et ceci même à très basse température (4,2 K). Nous démontrons mathématiquement  que, dans le cas de fermions non soumis à une interaction (free-fermions) évoluant sur un réseau cristallin (avec désordre), l'incertitude quantique de la densité de courant électrique microscopique autour de leurs valeurs macroscopiques (classiques) décroit de manière exponentiellement par rapport au volume de la région du réseau où le champ électrique est appliqué. Ceci est en accord avec l'observation expérimentale ci-dessus. Le désordre au sein du réseau est modélisé par un potentiel externe aléatoire avec des amplitudes aléatoires et à valeurs complexes. Le célèbre "Anderson tight-binding model" est un exemple particulier du cas considéré ici. Notre analyse mathématique est basée sur les estimations de Combes-Thomas (1973), le théorème ergodique d'Akcoglu-Krengel et le formalisme des grandes déviations, en particulier le théorème de Gärtner-Ellis.