Zéros de polynômes trigonométriques aléatoires à coefficients gaussiens stationnaires

On considère des polynômes trigonométriques aléatoires du type
$$f_n(t):=\frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{k=1}^{n}a_k \cos(kt) +b_k \sin(kt), ~~t\in [0,2\pi],$$
où $n$ est le degré du polynôme $f_n$.

On étudie l'asymptotique quand $n$ tend vers l'infini du nombre moyen de zéros de $f_n$ lorsque les processus $(a_k)_{k\geq 1}$ et $(b_k)_{k\geq 1}$ sont des processus Gaussiens stationnaires dépendants. On s'intéresse notamment à établir ou infirmer des résultats d'universalité, plus précisément étudier si la dépendance joue un rôle dans le nombre asymptotique de zéros.

On montre que ce dernier n'est pas relié au à la vitesse de décorrélation des coefficients mais plutôt lié à la positivité de la partie absolument continue de la mesure spectrale associée.