Asymptotique du nombre de zéros réels de fonctions aléatoires

On s'intéresse au nombre de zéros de polynômes trigonométriques aléatoires du type \[f_n(t)=\frac{1}{\sqrt{n}}\sum_{k=1}^{n}a_k \cos(kt)+b_k\sin(kt), t\in[0,2\pi]\] où les coefficients $(a_k)_{k}$ et $(b_k)_{k}$ sont gaussiens stationnaires centrés, de variance unitaire et de fonction de correlation $\rho(|k-\ell|)=E[a_ka_{\ell}] =E[b_kb_{\ell}]$. Le cas indépendant (i.e. $\rho(0)=1, \rho(k)=0, k\geq 1$) a beaucoup été traité, et l'asymptotique du nombre moyen de zéros est équivalente à $2/\sqrt{3}$. On étudie d'abord le cas où la corrélation est très forte, i.e; $\rho(k)=\cos(k\alpha), \alpha \in R$. On étudiera selon la nature arithmétique de $\alpha$, l'asymptotique du nombre de zéros réels de $f_n$ et on prouvera qu'on atteint un continuum de valeurs. Puis on se placera dans un contexte plus général où la mesure spectrale associée à la fonction de corrélation s'exprime comme la somme d'une partie à densité $\psi(x)dx$ et d'une partie singulière. On verra qu'alors, qu'en suivant l'approche Salem-Zygmund de 1954 se plaçant du point de vue d'une variable uniforme, sous des hypothèses de log-intégrabilité sur $\psi$, on obtient l'asymptotique universelle $2/\sqrt{3}$. Quitte à renforcer les hypothèses (moment négatif), on obtient même une convergence presque-sûre. On examinera également le cas où la mesure spectrale est absolument continue avec une densité s'annulant sur un ensemble de mesure de Lebesgue non nulle. Sous des hypothèses de régularités, on verra qu'on a non-universalité. Enfin, on essaiera d'extrapoler les méthodes d'approche de ce problème au cas des signaux périodiques généraux, à savoir \[f_n(t)=\sum_{k=1}^{n}a_k f(kt)\].

Le séminaire se déroulera en présentiel et sera retransmis via une session BigBlueButton. Un lien sera envoyé jeudi matin.