Schémas préservant l'asymptotique pour des EDS multi-échelles

Résumé: Quand on modélise un phénomène, on obtient souvent une bonne  
approximation du modèle en passant à la limite sur un paramètre  
d'échelle, disons epsilon -> 0. Et s'il faut le simuler numériquement,  
on peut écrire un schéma à epsilon fixé et un schéma pour le modèle  
limite. Malheureusement, le premier est souvent coûteux ou imprécis  
quand epsilon est trop petit, et le second ne prend peut pas être  
utilisé pour des valeurs de epsilon données. Les schémas préservant  
l'asymptotique (Asymptotic Preserving, ou AP) sont des schémas pensés  
pour être consistant avec ce passage à la limite, afin que le temps de  
calcul et la précision soient uniformes en epsilon. Ils ont jusqu'ici  
surtout été étudié dans des cas déterministes.
Dans cet exposé, je vous présenterai des exemples dans lesquels les  
schémas classiques ne sont pas AP, et des idées pour définir un schéma  
AP. Je me concentrerai sur les régimes dit d'approximation-diffusion  
(où le modèle limite suit une EDS de diffusion) et de moyennisation  
(où l'équation limite est déterministe).

Abstract: When a phenomenon is modelled, a good approximation of the  
model can often be retrived by taking the limit with respect to a  
scaling parameter, say epsilon -> 0. To compute a numerical  
simulation, one can write a scheme for epsilon fixed and a scheme for  
the limiting model. Unfortunately, the former is often computationally  
heavy or unaccurate when epsilon is too small, and the latter cannot  
be used for a fixed value of epsilon. Asymptotic Preserving (AP)  
schemes are meant to be consistent with the limit, so that the  
computational cost and the accuracy are uniform in epsilon. They have  
been mostly studied in a deterministic context.
In this talk, I will present models in which classical schemes do not  
preserve asymptotic, and some ideas to define an AP scheme. I will  
focus on the diffusion-approximation regime (where the limiting model  
satisfies a diffusion SDE) and the averaging regime (where the  
limiting equation is deterministic).