Formule de Kac-Rice et application aux nombres de zéros d'un processus stochastique

On s'intéresse à la variance du nombre de zéros d'un processus aléatoire Gaussien général. L'expression de la variance fait apparaître une intégrale double. Nous exhiberons trois régimes de comportement: la singularité diagonale, la décroissance loin de la diagonale, et le comportement intermédiaire pour l'intégrande. Ensuite, nous particulariserons ces résultats à la classe des polynômes trigonométriques aléatoires Gaussiens pour en déduire l'asymptotique exacte de la variance du nombre de zéros, lorsque le degré du polynôme tend vers l'infini.