Particules coalescentes et processus de diffusion sur l'espace de Wasserstein

Les propriétés régularisantes du mouvement brownien sont bien connues et se manifestent de nombreuses manières : la restauration de l'unicité d'équations différentielles mal posées et les estimations de gradient de semi-groupes en sont des exemples majeurs.

Dans cet exposé, nous nous intéresserons à des processus de diffusion définis non pas sur un espace euclidien comme pour le mouvement brownien mais sur l'espace de Wasserstein de mesures de probabilité, muni de la distance $W_2$. Dans un premier temps, nous détaillerons une construction d'une telle diffusion fondée sur un système de particules coalescentes et introduite par Konarovskyi. Nous vérifierons que ce processus possède les propriétés que l'on peut attendre d'un analogue du mouvement brownien. Ensuite, nous montrerons un résultat de restauration de l'unicité pour des équations de McKean-Vlasov qui complète l'analyse faite par Jourdain en l'étendant à des fonctions de dérives peu régulières par rapport à la variable de mesure. Enfin, nous prouverons une formule d'intégration par parties de type Bismut-Elworthy-Li pour le semi-groupe associé à notre diffusion, qui nous permet d'obtenir un contrôle sur le gradient du semi-groupe.