Spectre de matrices de permutation à échelle microscopique

Les valeurs propres de matrices de permutation sont des complexes de module 1, donc entièrement caractérisées par leurs arguments. En considérant des permutations aléatoires de lois d'Ewens (déformations à un paramètre de la loi uniforme), l'ensemble des angles propres correctement normalisés converge (en un certain sens) vers un processus ponctuel limite lorsque la taille des matrices tend vers l'infini. A partir de ce processus limite, nous montrons que les fluctuations du nombre de points dans un intervalle sont asymptotiquement gaussiennes lorsque la longueur de l'intervalle tend vers l'infini, avec certaines conditions sur les extrémités de l'intervalle. Le principal outil dont nous nous servons pour prouver ce résultat est un couplage faisant intervenir un processus de Poisson invariant d'échelle.