Zéros de champs gaussiens stationnaires

On s'intéressera aux zéros d'un processus champ gaussien stationnaire sur l'axe réel. Plus précisément, on considérera le nombre de zéros dans $[0,T]$ d'un tel champ, dans la limite où $T$ tend vers l'infini. Les asymptotiques de la moyenne et de la variance de ce nombre de zéros sont connues par des travaux de Kac et Cuzick respectivement. En ce qui concerne les moments d'ordre $p$ supérieur à $3$, on sait depuis les années 60 qu'on peut les exprimer comme des intégrales sur $[0,T]^p$, par les formules dites de Kac-Rice. L'exploitation de ces formules est difficile, et jusqu'à récemment on ne savait même pas en déduire des conditions non triviales de finitude des moments.

Dans cet exposé, je présenterai un résultat donnant l'asymptotique de tous les moments centrés du nombre de zéros, sous des hypothèses de régularité du champ et de décroissance à l'infini de sa fonction de corrélation. Ce résultat repose sur une étude fine des fonctions à $p$-points du processus ponctuel défini par les zéros de notre champ gaussien. On montre notamment une propriété de "clustering" pour ces fonctions à $p$-points, dont on déduit l'asymptotique des moments par un argument purement combinatoire. J'expliquerai aussi comment étudier les singularités des fonctions à $p$-points le long de la diagonale dans $\Bbb{R}^p$. Il s'agit d'un travail en collaboration avec Michele Ancona.