Homogénéisation d’une interface entre deux matériaux hétérogènes

Dans cet exposé, on s’intéresse à un problème d’homogénéisation représentant une interface plane entre deux matériaux hétérogènes différents. L’équation considérée est linéaire, elliptique et sous la forme divergence :
−div (a(x/ε) · ∇u_ε (x)) = f (x),
où ε ≪ 1. Toutefois, contrairement au cadre classique, l’équation homogénéisée obtenue ne fait pas intervenir un coefficient constant, mais un coefficient qui est seulement constant par morceaux et discontinu au passage de l’interface. Nous introduisons une définition de développement à deux échelles spécifique à ce problème et démontrons dans un cas simple que l’on peut obtenir une approximation locale précise du gradient ∇u_ε au voisinage de l’interface.
Références
[1] X. Blanc, C. Le Bris, and P.-L. Lions. Local profiles for elliptic problems at different scales : defects in, and interfaces between periodic structures. Comm. Partial Differential Equations, 40(12) :2173–2236, 2015.
[2] M. Josien. Some quantitative homogenization results in a simple case of interface. Communications in Partial Differential Equations, 44(10) :907– 939, 2019.
[3] M. Josien and C. Raithel. Quantitative homogenization for the case of an interface between two heterogeneous media. 2019. In preparation.

Homogénéisation d'interfaces