Un schéma numérique convergent pour les équations de Navier-Stokes isentropiques stationnaires

Les premiers résultats d'existence de solutions faibles pour les équations de Navier-Stokes isentropiques - i.e. avec une loi de pression de la forme p=rho^gamma - furent établis par P.-L. Lions en 1998, qui démontra que dans le cas stationnaire, et en dimension 3 d'espace, de telles solutions existent sous la condition (technique) gamma >5/3. En 2002, Novo et Novotny améliorèrent ce résultat grâce à la méthode des troncatures développée par E. Feireisl, pour atteindre la condition (optimale dans le cadre des solutions faibles) gamma > 3/2.

En ce qui concerne les approximations numériques, les seuls résultats de convergence existants jusqu'à récemment font l'hypothèse d'un indice adiabatique gamma > 3. Dans ce travail en commun avec Charlotte Perrin, nous démontrons la convergence des solutions approchées d'un schéma numérique vers une solution faible des équations de Navier-Stokes isentropiques dès lors que gamma > 3/2. On obtient alors une preuve alternative (mais similaire) à celle proposée par Novo et Novotny.

A des termes de stabilisation près, le schéma considéré est le schéma numérique sur grille décalées utilisé dans le code industriel Calif3S développé par l'IRSN. Dans cet exposé, après avoir décrit dans les grandes lignes la preuve de Novo et Novotny, je m'attacherai à expliquer comment adapter au cadre discret les résultats d'analyse fonctionnelle utilisés dans la preuve dans le cadre continu (théorie des solutions renormalisées, opérateur de Bogovskii, théorème de compacité de Rellich, compacité du flux visqueux effectif...).