Symplectic Kovacic’s algorithm in dimension 4

Soit L un opérateur d'ordre $4$ linéaire à coefficients dans $\mathbb{K}(z)$ où $\mathbb{K}$ est un corps calculable algébriquement clos. L'opérateur $L$ est dit symplectique si à transformation de gauge rationelle près, la résolvante de $L$ satisfait $X^t J X=J$ où $J$ est la matrice symplectique standard. Il est dit projectivement symplectique s'il est projectivement équivalent à une opérateur symplectique. Nous présenterons un algorithme testant si $L$ est projectivement symplectique. De plus, de façon similaire à l'algorithme de Kovacic, nous présenterons un algorithme qui calcule les solutions Liouvilliennes de $L$ dans le cas projectivement symplectique. Enfin, grâce au théorème de Klein, les solutions algébriques sont présentées sous la forme de pullbacks algébriques des équations hypergéométriques standard.