Conductor and discriminant of Picard curves

Les courbes de Picard sont les courbes définies par une équation de la forme y^3 = p (x), où p est un polynôme de degré 4. Elles constituent la classe la plus simple de courbes superelliptiques, hors les courbes elliptiques et hyperelliptiques bien entendu. Je donnerai un résumé de résultats obtenu dans un travail joint avec Irene Bouw (Ulm), Angelos Koutsianas (Vancouver) et Stefan Wewers (Ulm).

La première partie de l'exposé définit les courbes de Picard d'une façon plus précise, et décrit les isomorphismes entre elles, ainsi que leurs équations "optimales" et leurs propriétés de réduction. La deuxième partie décrit la courbe de Picard "spéciale" donnée par l'équation y^3 = x^4 - 1. Sur les rationnels, le conducteur de cette courbe vaut 2^6 3^6, lequel est conjecturellement le plus petit conducteur d'une courbe de Picard sur ce corps. Je donnerai un résultat partiel qui montre que du moins ce conducteur est minimal pour les tordues de la courbe spéciale. Pour le montrer, on détermine d'abord les tordues de ladite courbe qui ont de la bonne réduction hors 2 et 3.

Des algorithmes et des résultats explicites se trouvent à https://github.com/JRSijsling/picard_curves.