Théorie de Kummer uniforme pour les courbes elliptiques sur Q

La théorie de Kummer classique décrit les extensions d’un corps de nombres engendrées par une racine n-ième de l’unité et une racine n-ième d’un élément α ∈ K× qui n’est pas une racine de l’unité. Pour tout n ≥ 2, le groupe Gn = Gal (K(ζ_n, \sqrt[n]{α})/K(ζ_n)) s’identifie de facon naturelle à un sous-groupe de Z/nZ et un théorème classique montre que – pour un α fixé – l’indice (Z/nZ : Gn) est borné uniformément lorsque n varie. De facon équivalente, il existe une constante d(α) > 0 telle que pour tout n ≥ 2 on ait l’inégalité [K(ζn,\sqrt[n]{α})/K(ζn)] ≥ d(α)n.

Une généralisation naturelle de cette situation s’obtient en considérant un groupe algébrique commutatif A défini sur K, un point rationnel α ∈ A(K) d’ordre infini, et l’extension relative [K(A[n],α/n) : K(A[n])], le cas classique correspondant à A = Gm. Je vais discuter le cas où A est une courbe elliptique E et je vais montrer que, si E est définie sur Q (et sous une hypothèse minimale sur α), le degré [Q(E[n],α/n) : Q(E[n])] est ≥ cn^2, où c est une constante absolue, indépendante de E et de α.

Il s’agit d’un travail en commun avec Sebastiano Tronto (Université du Luxembourg).