Restriction de représentations modulo p aux sous-groupes paraboliques minimaux

Etant donnés un entier premier p, un corps local non archimédien F de caractéristique résiduelle p et un sous-groupe de Borel standard P de GL₂(F), il a été prouvé par Paškūnas que la restriction à P encodait de nombreuses informations sur les représentations lisses irréductibles du groupe GL₂(F) à valeurs dans un corps algébriquement clos de caractéristique p. Malheureusement, les preuves de Paškūnas reposent très fortement sur certaines spécificités combinatoires du groupe GL₂(F), qui permettent notamment d’exploiter assez directement l’action d’un opérateur de Hecke sphérique très particulier, mais laissent très peu d’espoir quant à un passage à d’autres groupes. Elles peuvent être partiellement transposées à quelques exemples de groupes quasi-déployés de rang 1, mais ce n’est vraiment pas très satisfaisant en l’état.

Dans cet exposé, nous expliquerons comment, dans un travail en commun avec J. Hauseux, nous proposons une réinterprétation des résultats de Paškūnas à l’aide du foncteur parties ordinaires d’Emerton. Ceci nous permet d’en obtenir une généralisation pour tout groupe de rang relatif 1, et ouvre des perspectives intéressantes pour les groupes de rang supérieur. En particulier, nous prouvons que pour de tels groupes, la restriction d’une représentation lisse irréductible supercuspidale à un sous-groupe parabolique minimal standard est toujours irréductible.