Sur l’intégration des algèbres de Lie p-nil en caractéristique p>0

Dans cet exposé je présente certaines méthodes développées au cours de ma thèse et dans une prépublication récente. Le problème est le suivant : soient k un corps (algébriquement clos) et G un k-groupe réductif. Notons 𝔤 son algèbre de Lie. Si k est de caractéristique nulle, l’existence de l’exponentielle permet d’intégrer toute sous-algèbre de Lie nilpotente 𝔲𝔤 en un sous-groupe unipotent lisse et connexe UG tel que Lie(U)=𝔲. Si maintenant k est de caractéristique p>0, l’exponentielle d’éléments nilpotents de 𝔤 n’est plus toujours bien définie et il n’est plus a priori possible d’intégrer une sous-algèbre de Lie nilpotente arbitraire de 𝔤.

Nous nous intéresserons ici à l’intégration des p-sous-algèbres restreintes p-nil de 𝔤 (à savoir les bons analogues en caractéristique p>0 des sous-algèbres de Lie nilpotentes de 𝔤). Après avoir présenté les travaux de J-P. Serre et ceux, plus récents, de P. Deligne, V. Balaji et A. J. Parameswaran qui assurent une intégration systématique de tels objets pour une borne « raisonnable » sur p, nous discuterons le cas plus complexe des petites caractéristiques. J’expliquerai notamment comment ma généralisation d’un théorème de P. Deligne permet l’intégration de certaines sous-algèbres de Lie p-nil de 𝔤 (maximales pour un certain critère), mais également pourquoi une intégration systématique n’est plus assurée pour de trop petites caractéristiques.

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