Une formule de classes pour une famille de modules d’Anderson
En 2012, Lenny Taelman a démontré une formule de classes pour les modules
de Drinfeld dans le cas où le corps de base est de genre
.
Dans cette formule, la série
associée au module de Drinfeld s’écrit comme le produit du générateur de
l’idéal de Fitting du module de classes et du régulateur des unités. De
nombreux autres cas de cette formule de classes ont été démontrés depuis,
impliquant des hypothèses sur le module de Drinfeld ou sur son anneau de
définition, mais aussi pour des modules d’Anderson (généralisations des
modules de Drinfeld où les coefficients sont maintenant des matrices).
Nous présenterons ici une preuve de la formule de classes pour une large
famille de modules d’Anderson contenant les modules abéliens et les modules
-finis,
ce qui implique en particulier la formule en toute généralité pour un module
de Drinfeld défini sur un anneau « général » quelconque.
La stratégie repose sur l’utilisation des unités de Stark
associées au module d’Anderson. On construit d’abord la
-déformation
du module, qui consiste à tordre l’action du frobenius par une variable
. Les unités de Stark sont alors les spécialisations
des
« -unités »
et forment un sous-réseau du réseau des unités. Cette approche permet de
travailler sur les
-unités,
à un niveau formel, sans avoir à considérer les opérateurs nucléaires de la
preuve de Taelman.
Il s’agit d’un travail en commun avec B. Anglès et
T. Ngo Dac.
L’exposé aura lieu sur BigBlueButton (code d’accès: 348329).
