Sur les unités de Stark et la formule de classes pour les modules de Drinfeld
En 2012, Lenny Taelman a démontré une formule de classes pour les
modules de Drinfeld dans le cas où le corps de base est de genre
.
Dans cette formule, la
série-
associée au module de Drinfeld s’écrit comme le produit du générateur
de l’idéal de Fitting du module de classes et du régulateur des unités.
De nombreux autres cas de cette formule de classes ont été démontrés depuis,
impliquant des hypothèses sur le module de Drinfeld ou sur son anneau de
définition. Nous présenterons ici une preuve de la formule de classes en
toute généralité pour un module de Drinfeld défini sur un anneau « général »
quelconque.
La stratégie repose sur l’utilisation des unités de Stark
associées au module de Drinfeld. On construit d’abord la
-déformation
du module de Drinfeld, qui consiste à tordre l’action du frobenius par une
variable
.
Les unités de Stark sont alors les spécialisations des
« -unités »
et forment un sous-réseau du réseau des unités. Cette approche permet de
travailler sur les
-unités,
à un niveau formel, sans avoir à considérer les opérateurs nucléaires de
la preuve de Taelman.
Il s’agit d’un travail en commun avec B. Anglès and T. Ngo Dac.
