Le problème de Siegel pour les E-fonctions

Siegel a défini et étudié en 1929 la classe des E-fonctions : il s'agit de séries entières à coefficients de Taylor vérifient certaines conditions de croissance archimédiennes et non-archimédiennes, et vérifiant une équation différentielle linéaire à coefficients polynomiaux. Elles généralisent la fonction exponentielle et, plus généralement, les fonctions hypergéométriques confluentes à paramètres rationnels sont des E-fonctions.
Siegel a posé la question de savoir si ces fonctions hypergéométriques suffisaient (en un sens précis) à construire toutes les E-fonctions. Après avoir rappelé plusieurs résultats classiques de théorie des nombres sur ces fonctions, je ferai le point sur des travaux récents sur la question de Siegel, en présentant en particulier un travail en commun avec Stéphane Fischler (Université Paris Saclay).