Géométrie de la surface réglée stable sur une courbe elliptique

Soit $C$ une courbe elliptique lisse sur $\mathbb{C}$. A isomorphisme près, il n'existe que deux classes de surfaces réglées indécomposables sur $C$ : la classe stable, $P_1$ et la classe semi-stable, $P_0$. On s'intéressera dans cet exposé à la géométrie de la surface réglée stable $P_1$. Plus précisément, nous allons montrer qu'elle possède un $4$-tissu holomorphe singulier. Mieux, on va construire un revêtement double $\Phi\colon C\times C\mapsto P_1$, sur lequel ce $4$-tissu est parallèle.