Surfaces à fibre cotangent pseudoeffectif

Soit $X$ une variété complexe projective lisse, et soit $\Omega_X$ son fibré cotangent. Grace au théorème de Boucksom-Demailly-Paun-Peternell on comprend parfaitement quand le déterminant de $\Omega_X$, i.e. le fibré canonique, est pseudoeffectif: c’est exactement le cas si la variété n’est pas couverte par des courbes rationnelles. Malheureusement cette caractérisation ne dit rien sur $\Omega_X$ lui-même. Récemment Thomas Peternell et moi avons montré que si le fibré canonique est trivial et $\Omega_X$ et pseudoeffectif, alors $X$ est quotient d’une variété abélienne. Dans cet exposé je vais parler de la suite de ce travail, en particulier je vais discuter le cas des surfaces elliptiques.