Théorie ergodique

Dans cet exposé on étudie les trajectoires d'un flot pour un gaz de Lorentz $\mathbb{Z}$-périodique en horizon fini, un système dynamique hyperbolique de mesure infinie issu d'un modèle introduit par H. Lorentz en 1905. Un tel système peut s'identifier à un flot spécial au dessus d'une $\mathbb{Z}$-extension d'un billard de Sinai pour laquelle D. Szasz et T. Varju ont développé un théorème limite local avec décorrélation. L'application de ce théorème associé à une "bonne" approximation des auto-intersections du flot permet de réduire l'étude de la trajectoire à la combinaison d'une marche aléatoire à une dimension sur la $\mathbb{Z}$-extension et au choix aléatoire d'une phase dans un billard de Sinai au niveau local.

L'évolution d'un fluide idéal en équilibre est décrite par l'équation d'Euler stationnaire. Parmi ses solutions, les champs de vecteurs Beltrami sont les seuls où des phénomènes dynamiquement intéressants peuvent apparaître. Dans un travail en collaboration avec Pierre Berger et Daniel Peralta-Salas, nous montrons que des tangences homoclines et des phénomènes de type Newhouse apparaissent parmi les champs de vecteurs Beltrami. De plus, grâce à la théorie de Gonchenko-Shilnikov-Turaev, nous prouvons l'existence de champs de vecteurs Beltrami universels, i.e. qui contiennent une approximation de n'importe quelle dynamique.