Théorie ergodique

Pour une surface à courbure négative, considérons une représentation de son groupe fondamental dans un groupe de matrices, ou en d'autres termes un fibré plat au dessus de cette surface. Sous certaines hypothèses d'intégrabilité, on peut associer à ces objets des exposants de Lyapunov ainsi qu'une décomposition en drapeaux des fibres qui décriront la dynamique des vecteurs du fibré vectoriel transportés le long de géodésiques de la surfaces. Cette décomposition est parfois appelée dans ce contexte variations de structures de Hodge dynamique. Des résultats récents montrent en fait un lien étroit entre cette décomposition du fibré plat et ses sous fibrés holomorphes. J'expliquerai ce lien, et considérai le cas des fibrés induits par les équations différentielles hypergéométriques. Enfin je parlerai d'un travail en cours avec S. Filip sur l'étude d'exemples particuliers mis en évidence par le calcul d'exposants de Lyapunov, et dont les groupes de monodromie apporteraient de nouveaux exemples de sous groupes discrets ou fins de groupes de Lie.

Pour le shift plein avec un alphabet fini, on s’intéresse au (premier) temps de retour $R_n(x)$ des $n$ premiers symboles de $x=(x_1,x_2,…)$. Il est bien connu que pour toute mesure ergodique $m$, $log R_n(x)/n$ converge $m$-presque sûrement vers l’entropie de $m$. Pour obtenir des propriétés plus fines (fluctuations, spectre multifractal, etc), une fonction naturelle apparaît, à savoir la limite de $$ \frac 1n log \int R_n^q(x) dm(x)$$ comme fonction de $q$. Pour les états d’équilibres associés à des potentiels à variation sommable, on montre que cette limite existe et on la calcule.

Etant donné un homéomorphisme  impair $f$ de la droite  réelle on peut définir les transvections généralisées $h(x,y)=(x+f^{-1}(y),y)$ et $v(x,y)=(x,y+f(x))$ agissant sur le plan. Lorsque $f$ est l'identité le groupe engendré est $SL(2,\mathbb Z)$. Nous nous intéresserons aux propriétés dynamiques de l'action du groupe engendré. Il s'agit d'un travail en commun avec Guido Ahamada.

TBA