Théorie ergodique

Soit $\mathcal Jf$ l’ensemble de Julia d’une fonction entière $f \colon \mathbb C \to \mathbb C$ et soit $Hdim(\mathcal Jf)$ la dimension de Hausdorff de $\mathcal Jf$. Dans le cadre des polynômes (en fait pour les fractions rationnelles), D. Ruelle a résolu en 1982 une conjecture de D. Sullivan en montrant que $$f \to Hdim(\mathcal Jf)$$ est une fonction analytique au voisinage de toute fonction hyperbolique. Avec A. Zdunik nous venons de démontrer que l’analogue de cette propriété n’est plus valable en générale lorsqu’on passe des polynômes aux fonctions entières transcendantes. Nous présentons une introduction au sujet et donnons un aperçu de notre travail avec A. Zdunik ainsi que des aspects du formalisme théormodynamique sous-jacent (travail fait en commun avec M. Urbanski).

Une conséquence du théorème de Kazhdan-Margulis est que l'ensemble des covolumes des réseaux d'un groupe de Lie semi-simple admet une borne inférieure strictement positive. Dans un travail en commun avec Pierre-Emmanuel Caprace, nous étudions ce problème et certaines variantes dans le cadre de produits de groupes simples totalement discontinus. Le but de l'exposé sera de présenter quelques uns de ces résultats, et peut être également certains résultats intermédiaires, notamment l'étude de l'approximation d'un groupe G par des réseaux dans l'espace de Chabauty des sous-groupes fermés de G.

In the 80's de work of de la LLave, Marco and Moriyon showed that for two dimensional Anosov diffeomorphisms, the marked Lyapunov spectrum determines the smooth isomorphism type of the system. Also in the 80's Otal and Croke showed that for negatively curved surface the marked length spectrum determines the isometry type of the surface. In this talk I will discuss new developments along this line of problems, discussing a more general framework where these theory can be developed. This project is joint with A. Gogolev.

TBA