Théorie ergodique

Le flot géodésique sur une variété à courbure négative est un système dynamique dont le comportement en temps long permet de retrouver de nombreuses informations géométriques et topologiques. Le Laplacien est un opérateur elliptique dont les propriétés spectrales encodent également de nombreuses propriétés topologiques et géométriques. Dans cet exposé, je présenterai pour les surfaces hyperboliques des relations précises entre le bas du spectre du Laplacien (premières valeurs propres, fonctions propres associées, spectre essentiel...) et des propriétés ergodiques du flot géodésique (mélange, comptage de géodésiques...). Certaines de ces relations sont bien connues depuis les travaux de Patterson et Sullivan, d'autres sont des résultats récents obtenus avec T. Roblin et B. Schapira. Si le temps le permet, je présenterai les généralisation en dimension supérieure et en courbure négative variable obtenues grâce à ces ces méthodes récentes.

Je parlerai d’un système dynamique qui est un billard défini dans un pavage triangulaire périodique du plan (triangle tiling billiard) et je décrirai complètement sa dynamique. Ce billard est défini par une loi de Snell-Descartes avec un coefficient de réfraction égal à -1 quand une bille passe d’une tuile a l’autre. Entre autres, je montrerai une trajectoire de ce billard qui passe par toutes les tuiles exactement une fois et qui converge au fractal de Rauzy, après reparamétrisation. Il y aura aussi des arbres (graphes sans cycles) et des fleurs (unions des boucles des séparatrices dans des feuilletages correspondants). Ce système s’avère de contenir (dans un certain sens) des objets classiques en dynamique comme la famille d’Arnoux-Rauzy et ses rel-feuilletages, ainsi que la baderne de Rauzy. Ceci est un exposé introductif, ou j’espère de décrire le billard, ses connections aux objets classiques, des idées de techniques que j’utilise, ainsi que montrer des images et rester dans les temps.

Les propriétés statistiques fines d'un flot d'Anosov peuvent être étudiées à travers la notion de résonances de Ruelle. Ces résonances constituent une famille de nombres complexes qui sont a priori difficilement calculables explicitement (si on exclut quelques cas exceptionnels comme le flot géodésique sur une surface hyperbolique compacte). On peut cependant décrire ces résonances comme les zéros d'une fonction entière définie à partir des orbites périodiques du flot : le déterminant dynamique. Nous discuterons la validité d'une relation moralement plus forte entre résonances de Ruelle et orbites périodiques, une formule de trace conjecturée par Dyatlov et Zworski, ainsi que les liens entre cette formule et les propriétés analytiques du déterminant dynamique.