Géométrie analytique

On s’intéresse dans cet exposé à la topologie des feuilles des laminations minimales par surfaces hyperboliques. Dans les exemples connus, les feuilles sont toutes de type topologique fini ou toutes de type infini. Une question naturelle est donc de savoir s’il y a une dichotomie. Nous prouverons qu’il n’en est rien. En utilisant des tours de revêtements de surfaces hyperboliques compactes et un renforcement de la propriété de finitude résiduelle des groupes de surfaces nous donnons une méthode pour prescrire la topologie des feuilles de laminations minimales par surfaces hyperbolique. En particulier nous construisons une lamination minimale par surfaces hyperboliques où tous les types topologiques de surfaces non compactes se réalisent. C'est un travail en commun avec J.Brum, M.Martínez et R.Potrie.

It is well known (since 1956) that the Selberg Zeta function for compact surfaces satisfies the “Riemann Hypothesis”: any zero in the critical strip 0 < R(s) < 1 is either real or Im(s) = 1/2. The question of location and distribution of the zeros of the Selberg Zeta function associated to a noncompact hyperbolic surface attracted attention of the mathematics community in 2014 when numerical experiments by D. Borthwick showed sets of a rich and complex structure. We will give an overview of the computational methods used, present recent results, justifying some old observations as well as state open conjectures.

Algebraic solutions of the Painlevé VI equation and the Garnier systems have been studied. For example, Girand constructed an explicit two-parameter family of flat connections over the projective plane. These connections have dihedral monodromy and their polar locus is a prescribed quintic composed of a conic and three tangent lines. By restricting them to generic lines, we get an algebraic family of isomonodromic deformations of the five-punctured sphere. This yields algebraic solutions of a Garnier system. In this talk, we give a generalization of this construction. That is, we construct an explicit n-parameter family of flat connections over the projective space of dimension n.

Soit $C$ une courbe elliptique lisse sur $\mathbb{C}$. A isomorphisme près, il n'existe que deux classes de surfaces réglées indécomposables sur $C$ : la classe stable, $P_1$ et la classe semi-stable, $P_0$. On s'intéressera dans cet exposé à la géométrie de la surface réglée stable $P_1$. Plus précisément, nous allons montrer qu'elle possède un $4$-tissu holomorphe singulier. Mieux, on va construire un revêtement double $\Phi\colon C\times C\mapsto P_1$, sur lequel ce $4$-tissu est parallèle.

Given a distribution on a projective variety, we will study the problem of finding a tangent foliation by curves with the same field of first integrals.

Nous expliquerons un critère permettant d'assurer la stabilité structurelle d'un feuilletage algébrique du plan projectif complexe. Puis nous vérifierons que le feuilletage de Jouanolou, défini par le champ de vecteur homogène \( y^2 \frac{\partial}{\partial x} + z^2 \frac{\partial}{\partial y} +x^2 \frac{\partial}{\partial z}\) sur \({\bf C}^3\), vérifie ce critère, et qu'il est donc structurellement stable. De façon préliminaire, nous détaillerons l'historique de ce résultat plutôt inattendu. Il s'agit d'un travail en collaboration avec Aurélien Alvarez.

We find the automorphism group of the moduli space of parabolic bundles on a smooth curve (with fixed determinant and system of weights). This group is generated by: automorphisms of the marked curve, tensoring with a line bundle, taking the dual, and Hecke transforms (using the filtrations given by the parabolic structure). A Torelli theorem for parabolic bundles with arbitrary rank and generic weights is also obtained. These results are extended to the classification of birational equivalences which are defined over ”big” open subsets (3-birational maps). Joint work with Tomas Gómez.

http://web.univ-ubs.fr/lmba/quimperiodique/

http://journees-louis-antoine.univ-rennes1.fr/LA19.html

J'expliquerai le résultat suivant : soit $(X,\omega)$ une variété kählerienne compacte dont la courbure sectionnelle holomorphe est strictement négative. Alors toute sous-variété irréductible de $X$ est de type général. Si le temps le permet, je présenterai également un analogue quasi-projectif de ce résultat.