Formules explicites pour des extensions de type Glaeser-Whitney de champs d'ordre 1

Je présenterai une preuve simple d'un résultat d'extension de type Glaeser-Whitney qui se présente sous la forme suivante:
dans un espace de Hilbert H, soit un 1-champ taylorien défini sur un sous-ensemble S de H (c'est-à-dire une famille de polynômes de degré 1 de la forme a(s)+a(s)+<v(s),.-s> pour s dans S). Trouver une fonction F de H dand R, differentiable de différentielle continue telle que F(x)=a(x) et DF(x)=v(x) pour tout x de H.
Ce problème a été résolu par Whitney (1934) et Glaeser (1958) en dimension finie et par Wells (1973) et Le Gruyer (2009) dans les Hilbert. Les preuves sont assez compliquées et utilisent le lemme de recouvrement de Whitney ou le lemme de Zorn. Nous donnons une preuve basée sur une formule explicite.
Travail en collaboration avec Aris Daniilidis (Santiago), Mounir Haddou et Erwan Le Gruyer (Rennes).