Comportement en temps long de solutions pour une équation de Benjamin-Ono amortie

On considère une équation de Benjamin-Ono sur le tore amortie par les petits modes de Fourier (cos et sin). Cette équation est globalement bien posée dans $L^2_{r,0}({\mathbb T})$. On décrira les limites faibles des trajectoires dans $L^2_{r,0}({\mathbb T})$ lorsque le temps tend vers l'infini, et on verra que les trajectoires sont relativement compactes dans $L^2_{r,0}({\mathbb T})$. Enfin, on montrera le caractère borné des normes de Sobolev d'ordre supérieur pour cette équation. Cette étude est basée sur une transformée de Fourier non linéaire adaptée à l'équation de Benjamin-Ono, appelée transformation de Birkhoff, que nous introduirons.