Les méthodes semiclassiques pour les opérateurs continus et discrets en dimension $1$

L'opérateur de Jacobi est un analogue discret de l'opérateur de Schrödinger. Une des motivations pour l'étude des opérateurs de Jacobi est que ses fonctions propres sont les polynômes orthogonaux. La théorie de diffusion pour des opérateurs de Schrödinger, y compris avec les potentiels à longue portée, est très bien développée. Dans ce cas-là le point de départ est la construction d'un Ansatz, connu comme Liouville-Green Ansatz, pour les solutions de l'équation de Schrödinger. Notre but principal est de trouver sa modification pour l'équation de Jacobi. Il se trouve que, inversement, l'étude des opérateurs de Jacobi amène des résultats nouveaux pour l'opérateur de Schrödinger.