Trou spectral pour les actions fortement ergodiques

Dans cet exposé, je ferai tout d’abord une introduction à la théorie ergodique des actions de groupes dénombrables sur les espaces mesurés. J’illustrerai la notion d’action ergodique par des exemples de nature probabiliste, algébrique et géométrique. Je présenterai ensuite une propriété de trou spectral pour les actions de groupes et ses liens avec l’ergodicité (forte).

Une action d’un groupe dénombrable sur un espace mesuré standard est fortement ergodique si elle ne possède pas de suite de sous ensembles presque invariants non triviale. Dans le cas où l’action préserve une mesure de probabilité, l’action est fortement ergodique si la représentation de Koopman associée ne contient pas de vecteurs presque invariants.

Dans cet exposé, je présenterai une caractérisation de l’ergodicité forte en terme d’une propriété de trou spectral du groupe plein de la relation d’équivalence orbitale associée à l’action. J’expliquerai comment cette propriété peut être utilisée pour étudier l’extension de Maharam des actions fortement ergodiques qui n’ont pas de mesures invariantes.