Le séminaire a lieu le lundi à 13h, en salle 006 (bât. 22-23, campus de Beaulieu).
Responsables : Joackim Bernier, Valentin Doli, Kévin Le Balc'h.
Exposés à venir
Lundi 16 Avril: Duc Tho
Boundary effects on the magnetic Hamiltonian dynamics in two dimensions
In this talk, I would like to discuss about the Hamiltonian dynamics of a charged particle submitted to a pure magnetic field in a two dimensional domain. We provide conditions on the magnetic field in a neighbourhood of the boundary to ensure the confinement of the particle. We also prove a formula for the scattering angle in the case of radial magnetic fields.
Exposés passés
Vendredi 6 Avril: Tristan Robert (Université de Cergy)
A propos de la stabilité orbitale du soliton de KdV
L'équation KdV est un modèle 1D décrivant l'évolution d'un fluide incompressible, irrotationnel et non visqueux, ayant une faible profondeur et des oscillations de faible amplitude et grande longeur d'onde. Ce modèle est célèbre pour être l'un des premiers à décrire l'existence de solitons, observés expérimentalement dès 1834, aussi a-t-il été largement étudié.
Après avoir rappelé brièvement les idées pour résoudre le problème de Cauchy dans l'espace d'énergie pour cette équation, nous décrirons les solitons et montrerons leur stabilité orbitale. Dans un second temps, nous montrerons que ces solitons restent orbitalement stables dans l'espace d'énergie pour de petites vitesses sous le flot de l'équation KP-I, qui est une perturbation 2D de KdV.
Mardi 3 Avril: Coralie Renault
Structures ordonnées dans des écoulements géophysique.
On s'intéressera à l'étude des poches de tourbillons simplement et doublement connexes en rotation uniforme aussi appelées V-states pour des équations issues de la mécanique des fluides. Ces solutions sont obtenues en appliquant un théorème de bifurcation. On étudiera aussi comment le diagramme de bifurcation peut varier lorsqu'on introduit un paramètre.
Lundi 19 mars: Paul Alphonse
Effets régularisant et contrôlabilité à zéro des opérateurs quadratiques.
Résumé : A tout opérateur quadratique (opérateur différentiel dont le symbole de Weyl est une forme quadratique) est associé un sous-espace vectoriel de l'espace des phases : l'espace singulier. Cette notion a été introduite par M. Hitrik et K. Pravda-Starov. Cet espace s'est révélé être central dans l'étude de ces opérateurs (lorsque la partie réelle de leur symbole est positive) :
. Etude de la propagation des singularités par le semi-groupe engendré par l'opérateur,
. Etude des effets régularisant de ce même semi-groupe, par exemple.
C'est aux effets régularisant auxquels on s'intéressera dans cet exposé, et plus précisément, à l'asymptotique des normes associées en temps petit. En application, on s'intéressera à la contrôlabilité à zéro des opérateurs quadratiques à espace singulier nul, ainsi qu'à la contrôlabilité à zéro des opérateurs d'Ornstein-Uhlenbeck, démontrées par K. Beauchard et K. Pravda-Starov.
Lundi 19 Février : Frédéric Valet (Strasbourg)
Construction de solutions explosives en temps fini de l’équation des wave maps.
Pour des conditions initiales d'énergie finie, la solution de l’équation des wave maps existe au moins en temps petit. Si l’énergie est suffisamment petite, la solution est globale en temps (et se comporte comme une solution des ondes linéaires). En revanche, pour des données initiales au voisinage d'une fonction harmonique (solution stationnaire), on peut construire des solutions qui explosent en temps fini. Nous expliquerons les méthodes pour obtenir ce résultat, d'après un article de P. Raphaël et I. Rodnianski.
Lundi 5 février : Léo Bigorgne (Orsay)
Méhodes de champs de vecteurs pour des équations d'ondes et des équations de transports.
Déterminer si une équation d'onde semi-linéaire admet une solution globale lorsque les données initiales sont suffisamment petites a permis la résolution de plusieurs problèmes en physique-mathématiques, dont la stabilité de l'espace-temps de Minkowski comme solution des équations d'Einstein. On présentera dans un premier temps quelques résultats généraux sur les équations d'ondes puis on montrera, en utilisant la méthode des champs de vecteurs de Klainerman, que les solutions d'équations d'ondes semi-linéaires à données petites sont globales en dimension n > 3, ainsi qu'en dimension 3 sous certaines conditions sur la non-linéarité. On s'intéressera enfin au système de Vlasov-Maxwell, utilisée en physique des plasmas, auquel des méthodes similaires peuvent être appliquées.
Lundi 29 janvier : Adrien Laurent (Université de Genève)
Titre : un nouveau type de B-series pour l'étude d'intégrateurs numériques pour l'équation différentielle stochastique Langevin overdamped.
L'équation de Langevin est un outil de physique statistique très pratique pour modéliser le mouvement des particules dans un fluide. Dans cet exposé, on s'intéressera à une version simplifiée de cette équation, appelée "overdamped Langevin". On verra d'abord la construction physique de cette équation, ainsi que quelques rappels rapides sur les EDS, le concept de mesure invariante et quelques notions d'analyse numérique stochastique. Puis on introduira le concept de B-series, outil qui s'est avéré être extrêmement puissant en analyse numérique. Enfin, après avoir défini les "exotic aromatic B-series", on les appliquera à l'étude des conditions d'ordre pour la mesure invariante de schémas numériques de type Runge-Kutta. S'il reste du temps, on s'intéressera aux propriétés algébriques et géométriques de ces nouvelles B-series.
Lundi 22 janvier : Camille Labourie (Université d'Orsay)
Titre : Régularité et existence d’ensembles minimaux pour des variantes du problème de Plateau
Le problème de Plateau consiste à minimiser l’aire d’une surface s’appuyant sur un bord. Cet énoncé assez ancien (xviiie siècle) est inspiré par les films de savon. Il fait l’objet de différentes formulations mathématiques qui corres- pondent à autant de façons de définir la classe des surfaces bordés par une frontière donnée et l’énergie à minimiser. Ainsi, le problème de Plateau est une classe de problèmes et il a motivé plusieurs théories (paramétrisation conforme, courants intégraux, varifold, chaînes différentiables...). Toutefois, les solutions connues manquent de généralité pour retrouver certaines singularités des films de savons.
Le but de cet exposé est de présenter les bases de la théorie géométrique de la mesure puis de formuler le problème de Plateau en adoptant un point de vue spatial. Dans ce cadre, les surfaces sont des sous-ensembles fermés d- dimensionnels (sans structure) de l’espace euclidien. On mesure leur aire avec la mesure de Hausdorff d-dimensionnel et on propose des contraintes topologiques pour décrire la condition d’appui. L’exposé se terminera sur les méthodes et résultats connus pour la contrainte de quasi-minimalité.
Mardi 9 janvier : Haruki Umakoshi (Osaka)
We consider the asymptotic behavior in chemical reaction-diffusion
systems modeling reversible chemical reactions. In this talk,
we focus on the case that the species of chemical reactions are not
"separated"
(i.e. reactants may also be products). In this case, it is possible
that there exists multiple equilibria. We will prove that global
renormalized solutions
converge to one of the equilibria in L^1(\Omega).
Relative compactness of trajectories t \rightarrow u(t) in L^1(\Omega)
and convergence of translated
functions t \rightarrow u(t+t_m) (t_m \rightarrow \infty) in
C([0,T];L^1(\Omega)) play important roles in the proof.
We will explain how these properties are obtained from entropy structure.
Finally, we give a sufficient condition which assure equilibrium set
consists of only one element.
We apply the above argument to this case and prove exponential
convergence toward strictly positive equilibrium is obtained.
This is joint work with Michel Pierre(ENS Rennes), Takashi Suzuki(Osaka
university).
Lundi 8 Janvier, Benoit Pinier (IRMAR)
Titre : Problèmes elliptiques et paraboliques avec données dans L^1.
Résumé: Nous traiterons de la determination d'espace de solutions faibles de problèmes elliptiques et paraboliques de dimension N > 2 dans le cas où le terme source est dans L^1(\Om). Dans le cas où les données sont dans L^p(\Om) avec p superieur ou égal à 2, une application de Lax-Milgram valide l'existence de la solution, cependant dans notre cas, la formulation variationnel ne tient plus par problème de dualité. Nous verrons comment trouver un bon espace fonctionnel de solutions faibles. Enfin; nous illustrerons cette problématique par une recherche de solutions faibles à un problème de Navier-Stokes avec fermeture RANS.
Lundi 11 décembre, Valentin Doli (IRMAR)
Titre : Phénomènes de propagation de champignons parasites de plantes, par couplage de diffusion spatiale et de reproduction par voie sexuée.
Résumé : On considère des organismes qui mixent reproduction sexuée et asexuée, dans une situation où la reproduction sexuée fait intervenir à la fois de la dispersion spatiale et de la limitation d'appariemment. Nous proposons un modèle qui implique deux équations couplées, la première étant une équation différentielle ordinaire de type logistique, la seconde étant une équation de réaction-diffusion. Grâce à des valeurs réalistes des différents coefficients, il s'avère que la deuxième équation fait intervenir une échelle de temps rapide, alors que la première fait intervenir une échelle de temps lente. Dans un premier temps, on montre l'existence et l'unicité de solutions au système original. Dans un second temps, dans la limite où l'échelle de temps rapide est considérée infiniment rapide, on montre la convergence vers une dynamique réduite d'état d'équilibre, dont les termes correctifs peuvent être calculés à tout ordre. Troisièmement, en utilisant des propriétés de monotonie de notre système coopératif, on montre l'existence d'ondes progressives dans une région particulière de l'espace des paramètres (cas monostable).
Lundi 27 novembre, Zoïs Moitier (Irmar)
Titre : Étude des résonances dans un micro-résonateur optique
Résumé : Un micro-résonateur optique est un dispositif constitué d’une cavité diélectrique. Le but est de calculer numériquement les résonances de micro-cavités. Cela conduit à résoudre un problème aux valeurs propres pour l'équation de Helmholtz dans l'espace tout entier, avec des conditions d'ondes sortantes. On commencera par regarder un problème 1D pour valider nos paramètres afin de réaliser des calculs en 2D.
Lundi 13 Novembre, Kévin Le Balc'h (ENS Rennes - Université de Rennes 1) : Les équations d'agreg
Version analyse :
Considérez un vol d'oiseaux. Vous pouvez observer un phénomène d'attraction-répulsion entre les oiseaux. Ce phénomène peut être modélisé par des équations dites d'agrégation. Dans leur forme la plus simple, ce sont des équations de transport avec un champ de vitesse qui dépend de la solution et qui est non local. Je présenterai le problème de Cauchy associé à ces équations. Je montrerai que le problème est bien posé (dans un espace fonctionnel assez faible, un espace de mesures). L'éloignement entre deux solutions (partant de conditions initiales proches) sera quantifié par une distance (dite la distance de Wasserstein), bien connue de nos collègues probabilistes. Puis, je parlerai des différents schémas numériques qui permettent d'approximer la solution exacte, je revisiterai le schéma upwind (adapté à ces équations de transport dont le champ de vitesse est, je le rappelle, nonlocal) puis présenterai d'autres schémas type MUSCL qui permettent de gagner en ordre.
Version proba : Considérez un banc de Poissons. Vous pouvez observer un phénomène d'attraction-répulsion entre les poissons. Ce phénomène peut être modélisé par des équations dites d'agrégation. Dans leur forme la plus simple, ce sont des équations de transport : dy/dt + d/dx (a y) = 0 dont on connait la solution associée à une donnée initiale quand a est constant. La particularité des équations d'agrégation est que le terme a dépend de la solution y, et ce de manière vraiment pas très sympa. Si on se donne une mesure de proba initiale, c'est à dire une loi régissant la répartition de notre banc de Poissons à l'instant 0, alors je montrerai l'existence et l'unicité de la solution (vivant dans un espace de proba) de l'équation d'agrégation. Je quantifierai l'éloignement entre deux solutions associée à deux conditions initiales proches grâce à la distance de Wasserstein. Pour approximer la solution exacte de notre problème, je présenterai plusieurs méthodes numériques, dont une qui peut s'interprétée de manière probabiliste à l'aide d'une chaîne de Markov.
Lundi 23 Octobre, Romain Horsin (Irmar)
We consider solutions of the Vlasov-HMF (hamiltonian mean field) model starting from a small Sobolev neighborhood of a spatially homogeneous stationary state, that satisfies a linearized stability criterion (Penrose criterion). It was recently proven that these solutions exhibit a scattering behavior to a modified state, implying a nonlinear Landau damping effect with a polynomial rate of damping. I will explain in essence that this conclusion persists through time-discretizations by splitting methods, show that the numerical modified state is close to the continuous one, and provide error estimates with respect to the time stepsize. We will also consider the case of inhomogeneous stationary states, where angle-action variables can be used. These are joint works with Erwan Faou and Frédéric Rousset.
Lundi 2 Octobre, Joackim Bernier (Irmar)
Comment discrétiser l’équation de Schrödinger non linéaire pour garantir l’existence de solitons orbitalement stables.
L’équation de Schrödinger non linéaire (NLS) admet certaines solutions particulières appelées solitons. L’évolution de ces solutions est réduite à une oscillations de leur phase et à une advection à vitesse constantes. De plus, ces solitons possèdent une propriété de stabilité appelée stabilité orbitale. Essentiellement, si à un instant une solution de NLS est proche d’un soliton, alors pour tout temps, quitte à l’advecter ou à la déphaser, elle reste proche de ce dernier. Je vous parlerai donc des problèmes qui peuvent survenir, quant à l’existence et à la stabilité de solitons, lorsque l’on essaye de discrétiser NLS en espace.
