Séminaire Landau

Séminaire des jeunes chercheurs en analyse de l'IRMAR

Dessin d'un landeau avec la notation de Landau
  1. Exposés à venir
  2. Exposés passés

Le séminaire a lieu le lundi à 13h, en salle 006 (bât. 22-23, campus de Beaulieu).

Responsables : Joackim Bernier, Valentin Doli, Kévin Le Balc'h.

Exposés à venir

Lundi 13 Novembre, Kévin Le Balc'h (ENS Rennes - Université de Rennes 1) : Les équations d'agreg

Version analyse :
Considérez un vol d'oiseaux. Vous pouvez observer un phénomène d'attraction-répulsion entre les oiseaux. Ce phénomène peut être modélisé par des équations dites d'agrégation. Dans leur forme la plus simple, ce sont des équations de transport avec un champ de vitesse qui dépend de la solution et qui est non local. Je présenterai le problème de Cauchy associé à ces équations. Je montrerai que le problème est bien posé (dans un espace fonctionnel assez faible, un espace de mesures). L'éloignement entre deux solutions (partant de conditions initiales proches) sera quantifié par une distance (dite la distance de Wasserstein), bien connue de nos collègues probabilistes. Puis, je parlerai des différents schémas numériques qui permettent d'approximer la solution exacte, je revisiterai le schéma upwind (adapté à ces équations de transport dont le champ de vitesse est, je le rappelle, nonlocal) puis présenterai d'autres schémas type MUSCL qui permettent de gagner en ordre.

Version proba : Considérez un banc de Poissons. Vous pouvez observer un phénomène d'attraction-répulsion entre les oiseaux. Ce phénomène peut être modélisé par des équations dites d'agrégation. Dans leur forme la plus simple, ce sont des équations de transport : dy/dt + d/dx (a y) = 0 dont on connait la solution associée à une donnée initiale quand a est constant. La particularité des équations d'agrégation est que le terme a dépend de la solution y, et ce de manière vraiment pas très sympa. Si on se donne une mesure de proba initiale, c'est à dire une loi régissant la répartition de notre banc de Poissons à l'instant 0, alors je montrerai l'existence et l'unicité de la solution (vivant dans un espace de proba) de l'équation d'agrégation. Je quantifierai l'éloignement entre deux solutions associée à deux conditions initiales proches grâce à la distance de Wasserstein. Pour approximer la solution exacte de notre problème, je présenterai plusieurs méthodes numériques, dont une qui peut s'interprétée de manière probabiliste à l'aide d'une chaîne de Markov.

Exposés passés

Lundi 23 Octobre, Romain Horsin (Irmar)

We consider solutions of the Vlasov-HMF (hamiltonian mean field) model starting from a small Sobolev neighborhood of a spatially homogeneous stationary state, that satisfies a linearized stability criterion (Penrose criterion). It was recently proven that these solutions exhibit a scattering behavior to a modified state, implying a nonlinear Landau damping effect with a polynomial rate of damping. I will explain in essence that this conclusion persists through time-discretizations by splitting methods, show that the numerical modified state is close to the continuous one, and provide error estimates with respect to the time stepsize. We will also consider the case of inhomogeneous stationary states, where angle-action variables can be used. These are joint works with Erwan Faou and Frédéric Rousset.
​​​​​​​

Lundi 2 Octobre, Joackim Bernier (Irmar)
Comment discrétiser l’équation de Schrödinger non linéaire pour garantir l’existence de solitons orbitalement stables.

L’équation de Schrödinger non linéaire (NLS) admet certaines solutions particulières appelées solitons. L’évolution de ces solutions est réduite à une oscillations de leur phase et à une advection à vitesse constantes. De plus, ces solitons possèdent une propriété de stabilité appelée stabilité orbitale. Essentiellement, si à un instant une solution de NLS est proche d’un soliton, alors pour tout temps, quitte à l’advecter ou à la déphaser, elle reste proche de ce dernier. Je vous parlerai donc des problèmes qui peuvent survenir, quant à l’existence et à la stabilité de solitons, lorsque l’on essaye de discrétiser NLS en espace.