Dans l’analogie classique entre les groupes GL_n(Z), et les groupes modulaires de surfaces (mapping class groups), on oscille parfois entre n=2 et n=3, entre un comportement hyperbolique, et un comportement plus rigide. Cependant, dans cette analogie, on sait bien qu’il n’y a pas de place facile pour le théoreme du sous-groupe normal de Margulis. Les mapping class groupes ont beaucoup de quotients, dont seulement une part vient de quotient par des elements pseudo-Anosov (ceux pour qui n=2 semble plus adapté). Il y a d’autres quotients provenant de twists de Dehn (ceux pour qui on aurait pu penser que n=3 était l’analogie adaptée). En fait, on peut montrer que le quotient par une grande puissance d’un twist de Dehn est acylindriquement hyperbolique.
