Théorie ergodique des actions par isométries affines sur un espace de Hilbert.

Le foncteur Gaussien associe de façon naturelle à chaque représentation orthogonale d’un groupe G sur un espace de Hilbert une action préservant une mesure de probabilité, qu’on appelle une action Gaussienne. Après avoir rappelé cette construction classique, j’exposerai un travail en commun avec Yuki Arano et Yusuke Isono, où l’on généralise le foncteur Gaussien en associant à chaque action par isométries affines de G sur un espace de Hilbert, une famille à un paramètre d’actions Gaussiennes non-singulières dont les propriétés ergodiques sont liées de façon très subtile à la géométrie de l’action affine originelle. Nous montrons que ces actions Gaussiennes présentent un phénomène de transition de phase et nous décrivons complètement cette transition de phase pour les actions par isométries affines de groupes agissant sur des arbres.