Sur une équation de Schrödinger non-linéaire : unicité, non-dégénérescence et applications

Dans cet exposé, après avoir énoncé un résultat concernant l’unicité et la non-dégénérescence des solutions radiales positives d’une classe d’équations elliptiques semi-linéaires, je m’intéresserai au cas particulier d’une équation de Schrödinger avec une non-linéarité donnée par une différence de puissances, i.e. $g(u)=u^q-u^p-\mu u$ pour $p>q>1$ et $\mu$ une constante positive. Dans ce cas, la non-dégénérescence de l’unique solution positive permet d’en analyser le comportement dans différents régimes du paramètre $\mu$. Ceci donne l’unicité des minimiseurs de l’énergie à norme $L^2$ fixée et la stabilité (orbitale) de $u_\mu$ dans certains régimes.

Mon exposé est basé sur un travail en collaboration avec Mathieu Lewin.