Sur l’intégration des algèbres de Lie p-nil en caractéristique p>0

Dans cet exposé je présente certaines méthodes développées au cours de ma thèse et dans une prépublication récente. Le problème est le suivant : soient $k$ un corps (algébriquement clos) et $G$ un $k$-groupe réductif. Notons $𝔤$ son algèbre de Lie. Si $k$ est de caractéristique nulle, l’existence de l’exponentielle permet d’intégrer toute sous-algèbre de Lie nilpotente $𝔲\subseteq 𝔤$ en un sous-groupe unipotent lisse et connexe $U\subseteq G$ tel que $\mathrm{Lie}\left(U\right)=𝔲$. Si maintenant $k$ est de caractéristique $p>0$, l’exponentielle d’éléments nilpotents de $𝔤$ n’est plus toujours bien définie et il n’est plus a priori possible d’intégrer une sous-algèbre de Lie nilpotente arbitraire de $𝔤$.

Nous nous intéresserons ici à l’intégration des $p$-sous-algèbres restreintes $p$-nil de $𝔤$ (à savoir les bons analogues en caractéristique $p>0$ des sous-algèbres de Lie nilpotentes de $𝔤$). Après avoir présenté les travaux de J-P. Serre et ceux, plus récents, de P. Deligne, V. Balaji et A. J. Parameswaran qui assurent une intégration systématique de tels objets pour une borne « raisonnable » sur $p$, nous discuterons le cas plus complexe des petites caractéristiques. J’expliquerai notamment comment ma généralisation d’un théorème de P. Deligne permet l’intégration de certaines sous-algèbres de Lie $p$-nil de $𝔤$ (maximales pour un certain critère), mais également pourquoi une intégration systématique n’est plus assurée pour de trop petites caractéristiques.

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