Phénomènes de positivité dans les algèbres de Hecke

Les algèbres de Hecke des groupes de Weyl finis ou affines sont centrales en théorie des représentations, en géométrie et en topologie de petite dimension notamment. En 1979, motivés notamment par des questions reliées aux singularités des variétés de Schubert, Kazhdan et Lusztig ont introduit deux bases canoniques de ces algèbres. Ils en ont donné une définition purement combinatoire, qui se généralise aux algèbres de Hecke des groupes de Coxeter arbitraires (généralisant les groupes de Weyl). Ils ont formulé une conjecture dite "de positivité" prédisant que la matrice de changement de base entre l'une des bases canoniques et la base dite "standard" de l'algèbre de Hecke ne devrait avoir pour coefficients que des polynômes à coefficients positifs. Ces coefficients sont les fameux polynômes de Kazhdan-Lusztig, qui possèdent de nombreuses applications en théorie des représentations. Si cette conjecture a été rapidement démontrée par Kazhdan et Lusztig (1980) dans le cas des groupes de Weyl (où les polynômes sont interprétés géométriquement), l'absence de techniques géométriques dans le cas général a longtemps constitué un obstacle à une approche générale, jusqu'aux travaux de Soergel (2007). Soergel a proposé un remplacement algébrique à la géométrie (a priori) inexistante dans le cas général, donné par une catégorie remarquable de bimodules sur un anneau de polynômes associé au groupe de Coxeter. Dans ce contexte, il a formulé une conjecture impliquant la positivité des polynômes de Kazhdan-Lusztig pour un groupe de Coxeter arbitraire; cette conjecture a été démontrée par Elias et Williamson en 2014.

Nous présenterons l'approche de Soergel sans rentrer dans les détails techniques et expliquerons comment, avec les travaux d'Elias-Williamson, elle peut être utilisée pour déduire des généralisations de la conjecture de positivité des polynômes de Kazhdan-Lusztig et de son analogue "inverse", conjecturées par Dyer (1987). Ceci nécessite l'introduction de filtrations tordues de bimodules de Soergel, ainsi que de généralisations des bases standard de l'algèbre de Hecke, reliées à des questions touchant aux groupes d'Artin-Tits.