Multiplicités équivariantes des cycles de Mirković-Vilonen et représentations d’algèbres affines quantiques

(L'exposé se fera à distance via Zoom.)

Étant donnée une algèbre de Lie $\mathfrak{g}$ de type simplement lacé et une fonction hauteur $\xi$ adaptée à une orientation $Q$ du diagramme de Dynkin de $\mathfrak{g}$, Hernandez et Leclerc ont introduit une catégorie $\mathcal{C}^{\leqslant \xi}$ de représentations de dimensions finies de l'algèbre affine quantique $U_q(\widehat{\mathfrak{g}})$, ainsi qu'une sous-catégorie $\mathcal{C}_Q$ de $\mathcal{C}^{\leqslant \xi}$ dont l'anneau de Grothendieck complexifié est isomorphe à l'anneau de coordonnée $\mathbb{C}[\mathbf{N}]$ d'un sous-groupe unipotent maximal. Dans cet exposé, nous présenterons notre construction d'un morphisme $\widetilde{D}_\xi$ défini sur un tore $\mathcal{Y}^{\leqslant\xi}$ contenant les $q$-caractères (tronqués) des objets de $\mathcal{C}^{\leqslant\xi}$. Nous prouvons que la restriction de $\widetilde{D}_\xi$ à $K_0(\mathcal{C}_Q)$ coïncide avec le morphisme $\overline D$ récemment introduit par Baumann-Kamnitzer-Knutson dans leur travail sur la correspondance de Satake géométrique et les multiplicités équivariantes des cycles de Mirković-Vilonen. Nous expliquerons comment cette description alternative de $\overline D$ nous a permis d'établir une conjecture formulée dans mon précédent travail qui portait sur l'étude des valeurs remarquables de $\overline{D}$ sur les mineurs drapeaux de $\mathbb{C}[\mathbf{N}]$. Si le temps le permet, nous conclurons en évoquant d'autres applications de nos résultats ainsi que de possibles développements ultérieurs.

Il s'agit d'un travail en collaboration avec Jianrong Li (Université de Vienne).