Les algèbres d'Askey-Wilson de rang supérieur comme algèbres d'écheveaux

Il s'agit d'un travail en commun avec J. Cooke. Le but de cet exposé est d'expliquer un isomorphisme entre deux algèbres, la première provenant du monde de la topologie quantique, la seconde puisant son inspiration de l'étude de certains polynômes orthogonaux. D'un côté, l'algèbre d'écheveaux d'une surface est construite grâce aux entrelacs dans la surface épaissie, modulo la relation du crochet de Kauffman. Dans le cas de la sphère privée de 4 points, il se trouve qu'elle est isomorphe à une extension centrale de l'algèbre d'Askey-Wilson universelle qui régit le comportement de certains polynômes orthogonaux. Ce lien est obtenu directement en comparant des présentations des deux algèbres. Une généralisation en rang supérieur de l'algèbre d'Askey-Wilson a été proposée par De Bie, De Clercq et van de Vijver, en tant que sous algèbre d'un produit tensoriel du groupe quantique $\mathcal{U}_q(\mathfrak{sl}_2)$. On construit alors un isomorphisme explicite entre ces algèbres d'Askey-Wilson et les algèbres d'écheveaux de sphères épointées, bien qu'aucune présentation de ces algèbres ne soit connue. La définition diagrammatique des algèbres d'écheveaux permet alors de fournir une manière efficace pour produire des relations dans les algèbres d'Askey-Wilson, notamment des relations de commutation établies par De Clercq. (L'orateur sera à distance via Zoom.)