La conjecture de Smith en faible régularité

Considérons un homéomorphisme d'ordre fini de la 3-sphère S^3 dans elle-même avec des points fixes et préservant l'orientation. En 1939, Paul Althaus Smith démontra que l'ensemble des points fixes d'un tel homéomorphisme était nécessairement homéomorphe à un cercle. Ce résultat nous renseigne sur la topologie intrinsèque de l'ensemble des points fixes, mais ne donne pas d'information sur la manière dont ce cercle est plongé dans S^3. Smith demanda donc si ce cercle de points fixes pouvait être noué, ou s'il était toujours isotope au plongement standard du cercle. C'est ce que l'on appelle la conjecture de Smith. Plus généralement, cette conjecture adresse la question de savoir si tous les homéomorphismes d'ordre fini de S^3 sont conjugués à un élément du groupe des transformations orthogonales O_4.

En l'état, la réponse à cette conjecture est négative. En 1952, R. H. Bing donna un exemple d'une involution de S^3 renversant l'orientation et dont l'ensemble des points fixes est homéomorphe à une 2-sphère S^2 plongée de manière "sauvage" dans S^3. Cet exemple fut modifié peu après par Montgomery et Zippin, démontrant l'existence d'un contre-exemple à la conjecture de Smith dans lequel les points fixes forment un cercle "sauvagement noué". Sous des hypothèses plus fortes, la conjecture de Smith peut cependant avoir une réponse positive. Ainsi, s'il on suppose que l'application est lisse, la conjecture a été démontrée en 1984 par John Morgan et Hyman Bass grâce à d'importantes avancées dans l'étude des variétés de dimension 3 par de nombreux mathématiciens.

Nous pouvons alors nous demander ce qui l'advient de la Conjecture de Smith dans un cadre où l'application a davantage de régularité qu'un homéomorphisme, sans être lisse. Dans une série de conférences données en 2013 à Santa Barbara, Michael Freedman conjecture que toute action bilipschitzienne d'un groupe fini sur une variété compacte de dimension 3 est conjugué à une action lisse. Je présenterai une démonstration partielle de cette conjecture.