Injectivité de l'induction en théorie de Lie

Étant données deux représentations isomorphes d'une algèbre de Lie complexe (semi)simple induites par deux représentations irréductibles $V$ et $W$ d'une sous-algèbre parabolique, que peut-on dire de $V$ et $W$ ?

Dans cet exposé, on se focalisera sur le cas des algèbres $\mathfrak{gl}_m$ et $\mathfrak{sp}_m$ et de sous-algèbres particulières.
On montrera que les poids dominants qui indexent $V$ et $W$ doivent coincider, à un automorphisme du diagramme de Dynkin près. Autrement dit, l'induction est injective. La preuve se base sur une version généralisée de la dualité de Howe que nous détaillerons.

Il s'agit d'un travail en commun avec J. Guilhot and C. Lecouvey.