Inégalités d’observabilité pour des équations elliptiques avec potentiel en 2D; applications au contrôle

Le but de l’exposé est de présenter de nouvelles estimations d’observabilité pour des équations elliptiques non homogènes posées sur un domaine Omega en 2D, avec observation sur un sous domaine omega. Plus précisément, pour un potentiel V borné à valeurs réelles, on démontre que le coût de l’observation de l’opérateur - Delta + V est de l’ordre de exp(||V||\infty^(1/2 + epsilon)). La méthode de preuve est inspirée d’un travail récent de Logunov, Malinnikova, Nadirashvili et Nazarov portant sur la conjecture de Landis. Je présenterai les trois grandes idées de la preuve : une construction de domaine perforé basée sur l’ensemble nodal de la solution pour se ramener à un domaine dont la constante de Poincaré est petite, une transformation quasi-conforme pour se ramener à une équation harmonique, et des estimations de Carleman conjuguées à des inégalités de Harnack. Enfin, je présenterai l’application de ces nouveaux résultats au contrôle d’équations elliptiques semi-linéaires, dans l’esprit des travaux de Fernandez-Cara et Zuazua concernant la contrôlabilité à zéro d’équations de la chaleur semi-linéaires. L’exposé sera basé sur un travail en commun avec Sylvain Ervedoza.