Hyperbolicité complexe et fibrés de Higgs nilpotents (avec Y. Deng)

Étant donné une variété complexe projective lisse X, il est en général très difficile de déterminer la géométrie de ses courbes, c'est-à-dire des images d'applications holomorphes non-constantes partant du plan complexe et à valeurs dans X. Si l'union de ces courbes n'est pas Zariski dense, on dira que X est quasi-hyperbolique. La conjecture de Green-Griffiths-Lang prédit alors que cette propriété d'hyperbolicité devrait être équivalente au fait que X soit de type général.

La conjecture précédente a servi de guide pour de nombreux problèmes d'espaces de modules, lesquels ont souvent des propriétés de courbure négative (et donc d'hyperbolicité complexe). Cela a donné lieu à un important effort de recherche au cours des dernières années (commençant avec les résultats de Griffiths, Schmid, Viehweg, Zuo... et continuant plus récemment avec les travaux de Brunebarbe, Rousseau, Deng, Brotbek,...); on a ainsi pu obtenir des propriétés très fortes d'hyperbolicité pour beaucoup de classes intéressantes de variétés, en particulier celles supportant certaines variations de structures de Hodge. On présentera ici un travail en collaboration avec Y. Deng, dans lequel nous étudions l'hyperbolicité des variétés supportant des fibrés de Higgs harmoniques nilpotents, qui forment une généralisation naturelle des VHS.